Analysis: Integralrechnung im ℝn mit Anwendungen by Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

By Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

Buchhandelstext
Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses f?r Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im R^n mit Anwendungen. In einem ersten Teil wird das Lebesguesche fundamental im R^n eingef?hrt und es werden die wichtigsten S?tze dieser Theorie bewiesen. Als Anwendungen werden u.a. die Lp-R?ume und die Fouriertransformation behandelt. Als n?chstes wird der Gau?sche Integralsatz bewiesen, der dann zum Studium der Potentialgleichung und zur Konstruktion von Fundamental-L?sungen einiger anderer partieller Differentialgleichungen ben?tzt wird. In einem ?etzten Teil wird schlie?lich der Differentialformenkalk?l eingef?hrt. Dieser Teil enth?lt auch eine Theorie der Kurvenintegrale sowie den allgemeinen Stokesschen Integralsatz f?r Untermannigfaltigkeiten des R^n mit Anwendungen auf die Integrals?tze f?r holomorphe Funktionen einer und mehrerer Variablen.

Inhalt
Inhalt: necessary f?r stetige Funktionen mit kompaktem Tr?ger - Transformationsformel - Partielle Integration - indispensable f?r halbstetige Funktionen - Berechnung einiger Volumina - Lebesgue-integrierbare Funktionen - Nullmengen - Rotationssymmetrische Funktionen - Konvergenzs?tze - Die Lp-R?ume - Parameterabh?ngige Integrale - Fourier-Integrale - Die Transformationsformel f?r Lebesgue-integrierbare Funktionen - Integration auf Untermannigfaltigkeiten- Der Gau?sche Integralsatz - Die Potentialgleichung - Distributionen - Pfaffsche Formen. Kurvenintegrale - Differentialformen h?herer Ordnung - Integration von Differentialformen - Der Stokessche Integralsatz.

Zielgruppe
Studierende der Mathematik ab dem three. Semester

?ber den Autor/Hrsg
Professor Dr. Otto Forster lehrt am Mathematischen Institut der Universit?t M?nchen.

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Sei K C lRn ein Kompakturn und rE lR+. Bezeichnet rK das Bild von K unter der Homothetie x ~ rx, so gilt Vol n (rK) = r n Voln (K). Dies folgt daraus, daß die Determinante der linearen Abbildung x ~ rx gleich r n ist. 49 § 5. Berechnung einiger Volumina Satz 3 (Cavalierisches Prinzip). Sei KeRn ein Kompaktum. Für t ER bezeichne K t die (n - l)-dimensionale Schnittmenge K t : = {(x 10 ••• , Xn _ d E Rn - 1 : (X 10 Dann gilt Voln(K) = f ••• , Xn _ 1 , t) E K}. Vol n _ 1 (Kt)dt. IR Bemerkung. Das klassische Cavalierische Prinzip macht folgende Aussage, die ein Spezialfall von Satz 3 ist: Seien zwei Kompakta K, LeRn vorgegeben.

Satz 1. Sei U C IRn eine offene Menge und K C U eine kompakte Teilmenge. Dann gibt es eine Funktion ß E 0 derart, daß jeder kompakte Würfel der Seitenlänge 2e, der K trifft, ganz in U enthalten ist. Sei P die (endliche) Menge aller Multiindizes P E Zn mit Supp(ape)nKi=f/J. d. CoroUar. Sei UC IRn offen, K CU kompakt und fE

Ji = Idet D I. Damit schreibt sich die Transformationsformel (§ 2, Satz 3): Su((~»v'g(~)dn~ ,n' = JU(X)dnx ,n für jede Funktion u E cec(n). h. Hilfssatz 2. Mit den obigen Bezeichnungen gilt: Seien u, v E ce 1 (n) und U := u 0 <1>, 'iJ:= v 0<1> E ce 1 (n'). Dann ist 30 § 3. Partielle Integration Beweis. Nach der Kettenregel ist au a~k L. (axau = i I 0 cl» ) acl»j a~k' In Matrizenschreibweise heißt das Vu= «Vu) 0 cI»)DcI» oder (Vu) cl» = (VU)(DcI»r 1, 0 wobei die Gradienten VU und Vu als Zeilenvektoren aufgefaßt werden.

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